Enews449 非線性分析及優化研究中心研究方向與成果簡介

出自KMU e-News

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當前修訂版本

高雄醫學大學e快報 第449期　 通識教育中心專題

非線性分析及優化研究中心研究方向與成果簡介

■基礎科學教育中心 溫慶豐主任

非線性分析及優化研究中心研究方向與成果簡介：

　　本中心設立的宗旨與目標為發展本校「非線性分析與優化」之研究團隊，並結合國內外相關研究學者與團隊，共同發展跨領域研究方向，以期成為本校之特色研究中心。

　　在國科會自然處數學學門的多個發展方向中，「非線性分析的研究與應用」佔有其獨特的地位。這是因為無論是在自然現象的描述、物理學定理的解釋、複雜生物系統的模擬、工程問題的解決、管理策略的制定，還是經濟模型的預測中，非線性問題無處不在，且極具挑戰性。為了克服這些挑戰，數學家們已經發展出非線性泛函分析和極值分析等工具，這些工具不僅豐富了數學的理論基礎，也為解決實際問題提供了強有力的支持。這些研究成果形成了一個稱為「非線性分析及凸性分析」的理論架構，它已經在過去四十年間對該領域產生了深遠的影響，並且預示著未來在這一領域還有更多值得期待的突破。非線性分析涵蓋領域非常廣泛，本中心主要的研究焦點如下：

(1) 定點理論與應用 (Fixed Points Theories and Applications);

(2) 向量優化與演算法 (Vector Optimization and Algorithm);

(3) 變分不等式與其解法 (Variational Inequalities and Solution Methods);

(4) 優化與優化控制 (Optimization and Optimal Control)。

　　針對上述議題，我們與國內外相關領域學者組成研究團隊，國內成員有來自於中國醫藥大學、國立中山大學、國立政治大學之知名學者，國外則分別來自美國、中國、日本、韓國、泰國、印度、越南、俄羅斯、伊朗、土耳其等多國。我們透過學術互訪與交流，加深彼此之研究合作，也邀請國外的博士生與博士後研究員來到本校訪問或移地研究，以培植更多跨國合作的新血與團隊。

　　除了在非線性分析與優化領域既有之良好基礎上持續努力之外，跨領域合作與研究一直是我們發展的重要目標。近年來人工智慧席捲全球，成為科技產業的新趨勢，由於人工智慧的本質其實就是最優化的過程，幾乎所有人工智慧的問題，最終可轉化為優化問題。基於過去在非線性分析與優化領域所奠定的良好基礎，我們成功地將非線性分析與優化應用於人工智慧系統的研究，目前有兩個主要的研究方向，其研究意義與成果如下:

(1) 大數據環境下的知識擷取：粒度計算(Granular Computing)與混雜資訊系統的不確定性度量

　　在資訊科技快速發展的現今，特別是隨著社群媒體和其他新興數位平台的興起，我們在生活的各個角落都能觸及前所未有的數據量。這些數據如同綿延不絕的數位河流，源源不斷地提供著資訊。然而，這股洪流也帶來了挑戰：我們如何在這海量的數據中尋找到真正有價值的知識呢？目前我們面臨的困境是，儘管數據量巨大，但我們卻缺乏高效的工具和方法來從中篩選和提煉出有用的資訊。因此，發展能夠從巨量數據中挖掘出寶貴知識的技術，不僅能夠幫助我們做出更明智的決策，還能降低由於經驗不足或知識不確定性所帶來的風險。這對於企業、政府機構乃至個人來說都是至關重要。此外，隨著人們對數據的貢獻日益增加，數據本身的不確定性和複雜性也隨之增長。我們不僅要處理文字和數字，還要處理圖像、聲音等非結構化的資訊。如何刻劃這些數據之間錯綜複雜的關係，以及如何定量地評估這些數據中的不確定性，從而擷取出潛在的、有價值的知識，是當前數據科學領域面臨的一大挑戰。為解決這些問題，我們運用模糊集合理論（Theory of Fuzzy Set）與粗糙集合理論（Theory of Rough Set），並在粒度計算(Granular Computing)的觀點下，建構混雜資訊系統(即具有多種類型資料的資訊系統)的資訊結構，研究它們之間的關係，利用資訊結構之間的依賴性發展混雜資訊系統的不確定性度量，並將不確定性度量應用到構造混雜資訊系統的屬性重要性評價策略以及屬性的約簡，從而建立混雜資訊系統的粒度計算架構，進而豐富不確定性度量理論。我們的一系列研究成果已分別發表在以下著名的SCI期刊: IEEE Transactions on Fuzzy Systems (2022 Impact Factor: 11.9)、Artificial Intelligence Review (2022 Impact Factor: 12.0)、Information Sciences (2022 Impact Factor: 8.1)、Applied Soft Computing (2022 Impact Factor: 8.7)，以及Engineering Applications of Artificial Intelligence (2022 Impact Factor: 8.0)。

(2) 求解模糊關係矩陣的最佳近似逆矩陣

　　模糊關係矩陣的逆矩陣在模糊溯因推理(fuzzy abductive reasoning)中扮演重要的角色，所謂模糊溯因推理是一種從觀察到的事實推導出最佳解釋的過程。它通常用於情況不確定或資訊不完整時，透過生成假設來解釋觀察到的現象。在人工智慧領域，模糊溯因推理可以用於故障診斷、信念修正、自動計劃等任務，其中模糊邏輯用於處理不確定性和模糊性，以形成合理的假設和解釋。由於大多數的模糊關係矩陣是不可逆(亦即逆矩陣不存在)，因此如何針對不可逆的模糊關係矩陣定義其近似逆矩陣，以及提出高效率求解最佳近似逆矩陣的方法，一直是相關領域學者所關注的研究議題。文獻中現有的方法主要是數值演算法，其缺點為需耗費大量的計算時間，且無法保證求出全域最佳解。這些缺點使得模糊關係矩陣的逆矩陣在模糊溯因推理中無法被廣泛地引用與研究。我們結合優化原理與方法分別在Max-Product與Max-Min的合成運算下，引用加權L1範數(weighted L1 norm)定義各式的近似模糊逆矩陣，並發展出求解最佳近似逆矩陣的代數方法，相較於文獻上已有的算法，我們所提出的方法具有以下幾個優點：(i)全域最佳解：所提出的方法保證找到之最佳近似逆矩陣是全域最佳解，解決現有數值演算法無法保證全域最佳解的限制。(ii)計算效率：我們所提出的代數公式為求解最佳近似逆矩陣提供了一種計算簡單且高效的方法，克服了現有數值演算法需耗費龐大計算成本之缺點。(iii)模糊溯因推理的準確性：由於可求得全域最佳近似逆矩陣，我們的方法使得模糊溯因推理的結果更加準確，使其更適合應用於即時推理系統 (如智慧診斷系統)。我們的研究成果已分別發表在IEEE Transactions on Fuzzy Systems (2022 Impact Factor: 11.9)、Information Sciences (2022 Impact Factor: 8.1)、Fuzzy Sets and Systems (2022 Impact Factor: 3.9，領域排名:12/267) 等SCI期刊。

　　總之，人工智慧系統常常涉及到非線性數據的處理、分析與優化，非線性分析提供了強而有力的工具，使得研究人員能夠深刻理解和設計人工智慧系統的複雜算法。應用非線性分析與優化的原理及方法於人工智慧系統，不僅可以解答眾多學術上的問題，更為工業、經濟和社會發展提供了實質的助力，特別是在人工智慧快速發展的今天，其重要性與必要性不言而喻。

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